Son güncellenme: 24 Mayıs, 2010
Fazör (phasor), sinuzoidal bir işaret temsil eden karmaşık sayıdır (complex number, a+i b). Sinüzoidal kaynaklı devrelerin(alternatif akım develeri) sürekli hal tepkilerinin(steady state response) bulunmasında büyük kolaylık sağlar. Kapasite ve bobin(indüktans) elemanı bulunan devreler zaman bölgesinde analiz edilmek istendiğinde integrodiferansiyel denklemlerin çözümü gerekirken, fazör bölgesinde analiz edilirse analiz cebrik denklemlerin çözümüne dönüşür. Ancak zaman bölgesinde çözüm hem geçici hem sürekli hâl tepkisini bulmamıza imkan verirken fazör bölgesinde yapılan analiz ile sadece sürekli hâl tepkisi bulunabilir. Zaten biz de çoğu zaman devrelerin sürekli hâl tepkileriyle ilgileniriz.

Fazör; sadece elektrik devreleri için değil, sinüzoidal değişen büyüklüklerin olduğu yerlerde de kullanılabilen bir kavramdır, örneğin elektromanyetik dalgaların matematiksel ifadelerinde kullanılır.

Herhangi bir devrenin analizi için 3 tip denkleme ihtiyaç duyarız, bu denklemler:
1) Bir kapalı çevre boyunca gerilimlerin toplamı sıfırdır, Kirchoff Voltaj Yasası-KVY.
2) Bir düğüme gelen akımların toplamı sıfırdır, Kirchoff Akım Yasası-KAY.
3) Devre elemanlarının tanım bağıntıları
bilgileri kullanılarak elde edilir.
Sinüzoidal kaynaklı bir devrenin analizinde fazör bir kolaylıktır dedik, fazörü konuşmadan önce sinüzoidal kaynaklı bir devrenin zaman bölgesindeki çözümünü görelim daha sonra devremizi fazör bölgesinde(veya fazör kullanarak) analiz ettiğimizde işimizin ne kadar kolaylaştığını göreceğiz.

Yukarıdaki devrenin analizini zaman bölgesinde yapmak için I1, I2 akımlarını atayıp 1. ve 2.çevreden KVY(kirchoff voltaj yasası) yazarsak:
1. çevre için:

değerleri yerine yazarsak:

ve 2.çevre için değerleri yerine yazılmış şekilde:

eşitliklerini elde ederiz.
2 bilinmeyen (I1,I2) ve 2 denklemimiz(1 ve 2) var, bu durumda I1 ve I2 yi bulabiliriz. Ancak karşımıza çıkan eşitlikler integrodiferansiyel denklem veya 2.dereceden diferansiyel denklem olacaktır. Çeşitli yöntemlerle bu denklemleri çözebiliriz ancak bu işlemler özellikle iki veya daha yüksek mertebeden devrelerde el ile çözüm için çok yorucu ve zor bir hal alır.

Sinüzoidal kaynaklı bir devrede(eğer doğrusal olmayan bir eleman yoksa) bütün akım ve gerilimler de kaynakla aynı frekanslı sinüzoidal olur. Mesela bir kapasite elemanı üzerindeki akım veya gerilim, A kolundan akan akım veya B kolundaki indüktans üzerindeki gerilim, hepsi sinüzoidal. Bu sinüzoidallerin frekansları kaynakla aynı demiştik, farkları ise sadece genlikleri ve fazları. Bazısı diğerinden daha büyük genlikli, bazısı diğerinden daha önde-geride. Tüm işaretlerin sinüzoidal olması devre analizimize bir basitlik getiriyor. Mesela, yukarıda saydığımız 3 tip denklem, özellikle 3. sü basitleşiyor:
1-2) Kapalı çevre boyunca gerilimleri toplamak veya bir düğüme gelen akımları toplamak sadece genlik ve faz bilgileri kullanarak yapılabilir. A*cos(wt+fi1) + B*cos(wt+fi2) toplamı A*exp(i*fi) ve B*exp(fi2) karmaşık sayılarının toplamıyla temsil edilebilir.

3) Asıl basitlik burda: Kapasite-indüktans elemanlarımızın tanım bağıntılarındaki türev veya integral işlemleri, devre kaynağı sinüzoidal olduğunda, sadece genlik ve faz değişimine sebep olduğundan tanım bağıntıları da basitleşiyor. Örn: İndüktans için gerilim genliği akımı genliğinin w*L katı, gerilim fazı akım fazından 90 derece önde diyor çıkıyoruz işin içinden. Elemanımızın tanımı türevli bir ifadedense, genlik ve faz değişimini söyleyen basit bir ifade oldu. Empedans tanımında bu konunun üzerinden tekrar geçeceğiz.

Karmaşık sayıları(complex numbers) hatırlayalım:
Karmaşık sayılar iki boyutlu sayılardır. Kendi içerisinde tanımlı cebrik kuralları vardır. Toplama(çıkarma), çarpma(bölme) işlemleri tanımlanmış bir cebrik sistemtir. Bu iki boyutlu sayının bileşenleri; gerçek kısım ve sanal kısım olarak adlandırılır. Neden böyle adlandırılmış, karmaşık sayılar hayatımıza nasıl girmiş sorularının cevaplarından M.İdemen’in KDFT kitabının ilk bölümünde bahsedilmiş. Şu haliyle karmaşık sayı sistemi bizim için bir cebrik sistem. Nasıl ki reel sayılar cebrini veya boolean cebrini biliyorsak, karmaşık sayı cebri de kendi içinde kuralları tanımlanmış bir cebrik sistemdir. İşimize yarıyorsa kullanırız, yaramıyorsa kullanmayız. Biz burda kullanacağız çünkü karmaşık sayı cebrinde tanımlanan toplama ve çarpma(bölme) işlemleri sinüzoidal bir işaretin devrede maruz kalabileceği değişiklikleri tam ifade ediyor. Aynı frekanslı iki sinüzoidalin toplamı(düğüme gelen akımlar, çevre boyunca gerilimler toplamı); bu sinüzoidallerin genlik ve faz bilgilerini tutan karmaşık sayıların(fazörlerin) toplamıyla birebir uyumludur. İndüktans ve kapasitenin tanım bağıntısı da komplex bir çarpma(bölme) işlemiyle tam uyumludur.

Karmaşık sayılar kartezyen, kutupsal ve üssel(exponential) olarak 3 şekilde gösterilebilirler. j=kök(-1) ve (1/j)=-j


Sinüzoidal kaynaklı bir devrede bütün akım ve gerilimler yine sinüzoidaldir ve aynı frekanslı iki sinüzoidalin toplamı yine o frekansta bir sinüzoidaldir. Devredeki sinüzoidaller arasındaki fark sadece genlikleri ve faz farklarıdır. Fazör, bu sinüzoidal gerilim veya akımları genlik(tepe veya rms değeri) ve faz bilgilerini saklayarak temsil eden bir karmaşık sayıdır . Örn: A.cos(wt + ß ) işareti:

karmaşık sayısıyla temsil edilir(karmaşık sayı kutupsal[polar] koordinatlarda gösterildi). “A” değerinin tepe veya rms olması tamamen kabul meselesidir, ikisi de olabilir. Biz burda tepe değeri olan A olarak aldık, sinüzoidalin rms değeri olan A/kok(2) olarak da alabilirdik.Burda dikkat etmemiz gereken diğer bir nokta var, temsil edilmekle eşitlemeyi karıştırmayalım. Sık yapılan bir hata bu iki ifadeyi birbirine eşitlemektir.

Örnek bir gerilim büyüklüğü için bu temsili şöyle yapıyoruz:
NOT: fazörleri ~ işareti ile belirteceğiz.

Empedans (Impedance)
Empedans kavramını tanımlayabiliyorsanız fazörü kavramışsınız demektir. Kendi yapmak istediğim tanıma geçmeden önce tatsız iki tanım yapacağım:
Tanım1:Fazör bölgesinde gerilimin akıma oranına empedans denir, Z ile gösterilir.
Tanım 2: Zaman bölgesinde pasif bir elemanın geriliminin akımına oranı o elemanın direnci olarak tanımlanır (ohm kanunu).Sinüzoidal akım ve gerilimleri karmaşık sayılarla temsil ettiğimizde(fazör bölgesine geçtiğimizde) bu orana artık o elemanın direnci değil empedansı diyoruz. Saf direnç elemanlar için direnç ve empedans aynıdır, gerçek(reel) bir sayıdır. Yani 10 ohm luk bir direnç için zaman bölgesinde de fazör bölgesinde direncin geriliminin akımına oranı 10 dur. Örn:

Şimdi de kendi tanımım: Kapasite ve bobin elemanları için bir direnç değerinden bahsetmek mümkün değildir çünkü bu elemanlar için dirençteki gibi herhangi bir anda gerilimin akıma oranı sabit değildir(bildiğiniz üzere direnç için tanım bağıntısı V/I=R), bu elemanların akım ve gerilimleri zaman bölgesinde diferansiyel bir ilişkiyle bağlıdır. Aşağıda koyu harflerle yazıldığı gibi bu diferansiyel ilişki sinüzoidal kaynaklı devreler için bir oran ilişkisine dönüşür(basitleşir). Bu oran empedans olarak adlandırılır ve karmaşık(complex) veya reel bir değer olabilir.

Bu diferansiyel tanım bağıntıları kapasite için(-C değerinin zamanla değişmediğini düşünerek-):

iken bobin için tanım bağıntısı(L değerinin zamanla değişmediğini düşünerek):

dir.
Bu eşitliklerin kapasite için Q=C*V ve bobin L*I=N*φ ifadelerinin bir kere zamana göre türetilmesinden geldiğini hatırlayınız.
Sinüzoidal kaynaklı devrelerin analizinde karşımıza çıkan integrodiferansiyel veya diferansiyel denklemler bu elemanların tanım bağıntılarının(üst satırda verilenler) diferansiyel içermelerinden ötürüdür. Analizi zorlaştıran yegane olay da budur.
Fazör bölgesinde ise bu tanım bağıntıları oldukça basitleşir. Kapasite elemanını ele alalım ve şöyle düşünelim: “Bir kapasite elemanı üzerindeki herhangi bir gerilim, bu gerilimin türevi çarpı C büyüklüğünde bir akım doğururur” bu cümle kapasitenin zaman bölgesindeki tanım bağıntısından okuyabileceğimiz gibi doğru bir cümledir.
“Bir kapasite elemanı üzerindeki sinüzoidal gerilim, genliği bu gerilimin 2*pi*f*C katı olan fazı ise 90 derece ilerde olan bir sinüzoidal akım doğurur” bu basitleşmiş(türevsiz) ifade de doğru bir ifadedir ki tanım bağıntısından elde edilebilir ancak sadece sinüzoidal işaretler için geçerlidir. Yani aslında zaman bölgesindeki tanımın özel bir hali aynı zamanda fazör bölgesindeki tanımın “ta kendisidir”.
Bir başka deyişle gerilimi

olan bir kapasitenin akımı
olur. Bu gerilim ve akım arasında her zaman 90 derecelik faz farkı ve 2*pi*f*C lik bir oran vardır. Hatırlayacağımız üzere fazör bölgesinde bir elemanın geriliminin akımına oranı o elemanın empedansı olarak tanımlanır, dolayısıyla kapasite elemanımızın empedansı:
olur. [j = kök (-1)]
Aynı şekilde bobin elemanımızın empedansı:

olur.

Böylece fazör bölgesinde kapasite tanım bağıntısı:

bobin tanım bağıntısı:

oldu.
Ara not: Fazın önde-geride olması?
Bu aslında göreceli bir kavram, daire şeklinde bir pistte yarışan iki araçtan hangisi önde nasıl bilebiliriz? Arkada gibi görünen diğerine tur bindirmiş de olabilir:) Biz -iki aracı da içine alan- pistin yarısına bakıyoruz kim öndeyse o öndedir:) Devrelerimizde de iki sinüzoidalin tepe değerini gördüğü yarım periyoda bakıyoruz, kim önce tepe değeri aldıysa o öndedir. Matematiksel olarak cos(wt+fi), cost(wt) den fi derece öndedir fi<=180 derece için. Yani cos(wt+30), cos(wt+15) den 15 derece öndedir veya cost(wt+180), cos(wt) den 180 derece önde(tam ters işaretlisi) denebilir. cos(wt+181), cos(wt) den 179 derece geridedir Aşağıdaki grafikte kırmızı veya mavi çerçeve alınmış rastgele seçilen yarım periyotluk dilimlerde tepe değeri dana önce gelen işaretin(kırmızı işaret) maviden fi kadar önde olduğu görülmektedir. fi=w*dt dir. Aynı frekanslı iki sinüzoidal arasındaki bu farka faz farkı diyoruz.

Görüldüğü üzere sinüzoidal işaretler için elemanımızın(kapasite veya bobin) tanım bağıntısı fazör bölgesinde daha kolay bir şekilde ifade edilebilir ya da bu tanım bağıntılarını daha kolay bir şekilde ifade ettiğimizde kendimizi fazör bölgesinde buluruz:). Fazör kavramının kullanışlılığı burdan kaynaklanır, bu elemanların tanım bağıntılarını kolaylaştırdığımızda integrodiferansiyel veya diferansiyel denklemler cebrik denklemlere dönüşür.Örnek devremizi fazör kullanarak analiz edelim:

Kaynağımızın fazını 0 olarak kabul ediyoruz yani aslında devremizde kaynağımızı referans olarak alıyoruz. Kaynağımız cos ile ifade edildiyse herhangi çıkan bir sonucun “cosinus” bir işaret temsil ettiğiniz biliyoruz. Kaynağımız sin olsaydı çıkan herhangi sonucun “sinus” işaret temsil ettiğini biliyoruz. Kaynağı referans alarak aslında biz fazör analizi sonucunda bulduğumuz tüm gerilimleri kaynağa göre söyleriz, atıyorum R1 direncinin geriliminin genliği A fazı 30, yani kaynaktan 30 derece önde. Örneklerde daha iyi anlaşılacaktır.
Devremiz fazör bölgesinde:

1. ve 2. çevreden:

Denklemlerimizi düzenlersek:


İşlemler Matlab de veya karmaşık sayı desteği olan bir hesap makinesinde yapılabilir.

böylelikle I1 akımını bulduk. 2 nolu denklemden I2 yi de bulabiliriz.


Böylelikle I1 ve I2 akımlarını bulmuş olduk. Sonuçlarımıza bakarsak I1 ve I2 akımlarının fazlarının aynı olduğunu görüyoruz(yuvarlatılmış haliyle) ve I1 akımının I2 akımına kıyasla yaklaşık 1000 kat daha büyük olduğunu görüyoruz. Bunu şöyle yorumlayabiliriz: Z2 ve Z3 empedanslarını bulmuştuk, Z3 empedansı Z2 ye kıyasla 1000 kat daha büyüktü dolayısıyla Z2 üzerinden akan akım Z3 üzerinden akana kıyasla 1000 kat daha büyük oldu. R direncinden geçen akımın çok büyük bir kısmı Z2 üzerinden akıyor, Z3 üzerinden ise çok az akım akıyor. R direncinden sağ tarafa baktığımızda neredeyse tamamen indüktif bir yük görüyoruz(seçtiğimiz L ve C değerlerinden ötürü). Kaynağımızdan sağ tarafa baktığımızda 220 ohm luk saf bir direncimize Z2//Z3 empedansının seri bağlandığını görüyoruz. Z1//Z2 ~ = Z2 çünkü Z2 empedansı Z1 e kıyasla çok küçük, dolayısıyla kaynağın gördüğü yük 220+Z2 o da 220 + 31.4j, yani kaynağımız hemen hemen rezistif bir yük görüyor, dolayısıyla I1 akımının faz kayması çok değil, sadece -8 derece. I1 akımında negatif işaretli bir faz kayması var(akım geride) çünkü yükümüz indüktif özellik gösteriyor.

Peki bizden indüktör(bobin) üzerindeki gerilim istenmiş olsaydı ne yapacaktık? I1 ve I2 fazör akımlarını bulmuştuk. İndüktör üzerindeki fazör gerilimi:

Böylece devremizin analinizi bitirmiş olduk ancak bulduğumuz sonuçların sürekli hal tepkileri olduğunu unutmayalım.

Devre analizinde gördüğümüz bir karmaşık sayı ne anlam ifade eder, gerçek hayatta imajiner bir büyüklük yoktur?
- Bir sinüzoidal işaret(akım veya gerilim) temsil eder efendim, büyüklüğü bu karmaşık sayının büyüklüğü ve fazı bu karmaşık sayının açısı olan bir sinüzoidal işaret temsil eder. L ve C elemanlarında olduğu gibi empedans değerlerinin karmaşık sayı olabileceğini unutmayalım. Örnekler(tüm açılar derece cinsinden):
Fazör 10j akımı 10.cos(wt+90) akımını temsil eder. (cos veya sin olması seçime bağlıydı, hatırlayınız.)
Fazör 3+4j gerilimi 5.cos(wt+53) gerilimini temsil eder. Karmaşık sayının formatı değişince aklımız karışmasın, sayının formatı yaptığımız işlemi kolaylaştırması için başka formlarda gösterilebilir(topl-çıkarma kartezyen, çarpma bölme polar formda daha kolay yapılır):
Fazör 20*exp(-45j) akımı 20*cos(wt-45) akımını temsil eder.
Zamanda bölgesinde100*cos(wt+30) akımını fazör bölgesinde 100*exp(30j) temsil eder.

*Çoğu analizde burda fazör kullandık denilmez, belki nezaketen fazör bölgesine geçersek denir veya fazör karşılıkları direkt yazılır. Karmaşık sayıları görünce fazör olduğunu bizim düşünmemiz gerekir.

*İnternette veya bir kitap sayfasında herhangi bir akımın 100j olduğundan bahsediliyor mesela… aklımıza hemen genliği 100 V, fazı +90 derece olan bir sinüzoidal gelmelidir. Tek başına faz bilgisinin bir şey ifade etmediğini unutmayınız, bir faz bilgisi varsa muhakkak referans alınan bir kaynak sinüzoidal vs. olmak zorundadır. Neye göre +90 derece…?

Örnek Devreler:
1)Seri RC

Vk=10.cos(2*pi*1000000*t) olmak üzere yukarıdaki devrede I1 ve V1 in sürekli hal tepkilerini bulunuz.

Çözüm:
Devremizi fazör bölgesine alalım:

Bir KVY dönersek:

2)Paralel LC Rezonans

Yukarıdaki gibi paralel L-C devrelerinde ok yönünde bakıldığında görülen empedans bir f frekansında sonsuz olmaktadır(açık devre), bu frekansa paralel LC devresinin rezonans frekansı denir. Buna göre yukarıda verilen değerlere göre devrenin rezonans frekansını bulunuz.

Ok yönünde bakıldığında gördüğümüz empedansa Z, C ve L nin empedanslarına Z1 ve Z2 dersek:

Bu empedansın sonsuz olması için paydanın sıfır olması gerekir.

Bu yapı pratikte filtre tasarımında kullanılır. Yukarıdaki paralel rezonans devresine seri bağlı bir R direnci düşünelim. Oluşan devre bir bant geçiren filtredir. Bu devre rezonans frekansında girişindeki işareti aynen geçirecektir(çünkü açık devre). Eğer merkez frekansı 1MHz lik bir bant geçiren filtre tasarlamak istiyorsak rezonans frekansı 1MHz olan bir paralel L-C rezonans devresi kullanabiliriz. R yi neye göre seçeceğiz? R değeri filtremizin Q sunu, diğer bir ifadeyle filtremizin bant genişliğin belirler. R yükseldikçe filtremiz sadece rezonans frekansını geçirmek ister.