Merhaba arkadaşlar, self(inductance) ve kapasite(capacitance) elemanlarının farklı frekanslarda farklı davrandıklarını biliyoruz. Kapasite elemanımız yüksek frekanslarda kısa devre gibi alçak frekanslarda ise açık devre gibi davranırken bobin(self) elemanımız yüksek frekanslarda açık devre gibi, alçak frekanslarda kısa devre gibi davranır. Bunu bu elemanların zaman domainindeki tanım bağıntılarından görebileceğimiz gibi fazör domainindeki tanım bağıntılarından da görebiliriz. Bu elemanların bulunduğu devreleri zaman domaininde analiz etmeye çalıştığımızda uzun uzun diferansiyel denklemlerle uğraşmak durumunda kalıyoruz ki bir yerden sonra hesaplar içinden çıkılmaz bir hal alıyor. Ancak eğer devremizin kaynağı sinüsoidal ise fazör kolaylığı yardımımıza yetişiyor, çünkü sinüsoidal kaynaklı bir devrede bütüüün akım ve gerilim büyüklükleri kaynakla aynı frekanslı sinüsoidal büyüklüklerdir değişen sadece büyüklükleri ve fazlarıdır. O zaman biz bu bütüüün akım ve gerilimleri cos lu sin li göstermektense fazör olarak gösterelim ve analizimizi kolaylaştıralım(fazör ve karmaşık sayılar başlıklı bir yazıda bu geçişten kısaca bahsetmiştik). Sözü fazla uzatmayalım, en son demiştik ki bu elemanlar(kapasite ve self) farklı frekanslarda farklı davranıyor, o zaman bu elemanları çeşitli kombinasyonlarda kullanarak gelen bir işareti frekansına göre geçirebilir, durdurabilir; gelen işaret frekansı için bir alt limit veya üst limit veya her ikisini birden koyabiliriz. Yani gelen işareti filtreleyebiliriz, gerçekleştirdiğimiz devre de bir filtre olmuş olur. Filtre diyoruz, bir süzme işlemi yapıyoruz bu fltreler neye göre süzüyoruz? Frekansa göre süzüyor . Bunu niye yapmak isteriz? En kaba cevabıyla bir sistemden almak istediğimiz işarete farklı frekanstaki işaretler karışıyorsa ve biz halis muhlis kendi işaretimizi istiyorsak karışan frekansa dur bakalım dememiz gerekir. Tabi bunu %100 yapmak imkansız ancak olabildiğince yaklaşarak bizi idare edecek işareti elde edebiliriz. Çıkışta aldığımız işaret süzme işleminden sonra görmek istediğimiz işaretle aynı büyüklükte veya aynı fazda olmayabilir ancak faz kayması veya büyüklük değişimi işaretimizi bozmaz, bizim için işaretimizin şekli önemlidir. Şimdi en basit filtre tipi olan alçak geçiren filtremize bakalım. Alçak geçiren! frekansı alçak olan işaretleri geçiren filtre.

Alçak Geçiren Filtre(Low Pass Filter):

Yorum:
Şimdi bu devrenin alçak geçiren bir filtre olduğunu görmek için herhangi bir analiz yapmaya gerek yok. Sezgisel yöntem olarak adlandırılan yöntemde eğer kaynağım 0 frekansta(DC) olursa çıkışta ne görürüm eğer kaynağım yüksek frekansta olursa ne görürüm sorularını kendimize sorarak filtre türünü tespit edebiliriz. Diğer bir ifadeyle: Frekans arttıkça kapasitenin tepkinliği azalmaya başlar, yani gösterdiği empedans düşer kısa devre gibi davranmaya başlar. Bu durumda girişe uygulanan gerilim kapsiteye paralel bağlı direnç üzerinde kendini daha çok gösterir. Yani girişine yüksek frekans uygulanan seri bağlı R C devresinde gerlimin büyük bölümü R nin uçlarında olur, çünkü C çok küçük bir empedans gösterir. Frekans düştükçe kapasitenin tepkinliği artar(kapasite ben burdayım demey başlar), kapasite uçlarında okunan gerilim değeri de artar. Bu seçiciliği kullanarak alçak geçiren filtre yapabiliriz. Dikkat ederseniz frekans değiştikçe kapasite tepkinliğinin değiştiğinden bahsettim ama dirençten hiç bahsetmedim, çünkü direnç tüm frekanslarda aynı tepkinliği gösterir.

Analiz: yapmak istediğimizde,
Elemanların fazör domain karşılıklarını yazalım:

Gerilim bölümünden çıkışta göreceğimiz işaretimiz Vçıkış:

olacaktır. Eşitlikte gördüğümüz w giriş işaretimizin açısal frekansıdır, 2pi ye bölerek işaretimizin frekansını bulabiliriz. Burada giriş gerilimi le çıkış gerilimi arasında karmaşık(komplex) bir ifade görüyoruz, bu ne demek oluyor? Bu bizim başta yaptığımız fazör kullanımından gelen bir durumdur, fazör domaininde karmaşık sayının bizce iki anlamı var büyülük ve faz. Giriş işaretimiz bir karmaşık sayıyla çarpılıyor(büyüklüğü ve fazı değişiyor) ve çıkışta beliriyor. Bu arada karmaşık sayı olarak bahsettiğim büyüklük w nın belirli bir değeri için karmaşık sayıdır, şu durumda görüldüğü üzere w nın bir fonksiyonudur ki biz bu fonksiyona transfer fonksiyonu diyoruz(çıkış işareti ile giriş işareti arasında bir bağıntı olduğu için). Sonuç olarak yukarıda yazdığımız transfer fonksiyonu bize şunu söyler: sen bana giriş işaretinin w frekansını söyle ben sana çıkışta işaretinin büyüklüğünün ne ile çarpılacağını ve fazının ne kadar değişeceğini söyleyeyim. Çıkış işaretimizin ne ile çarpılacağı filtremizin kazancı olarak adlandırılır. Eşitliğimizi sadeleştirdiğimizde:

Burada transfer fonksiyonumuzu daha sade bir halde görüyoruz. Peki bu transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü ve açısı 0(DC) frekanslı bir işaret geldiğinde ne oluyor acaba? Öyle ya filtremiz gelen işaretimizin fazını ve büyüklüğünü işaretimizin frekansına göre değiştiriyordu acaba 0 frekansında nasıl bir değişim yapıyor? f=0 ise w=2*pi*0 = 0 olacaktır. 0 ı transfer fonksiyonumuzda
yerine yazdığımızda fonksiyonumuzun büyüklüğünün 1 olduğunu görürüz, yani giriş işaretimizin büyüklüğü değişmeden çıkışta görülüyor ya fazı? w= 0 ı yerine yazdığımızda oluşan sayı bir reel sayı olduğundan fazı sıfırdır ve işaretimizde bir faz kayması olmaz. Peki frekansımız 0 değilde 100 Hz olsaydı ne olurdu? f=100Hz ise w=200pi olur. w=200 pi yerine yazıp fonksiyonumuzun büyüklüğüne baktığımızda büyüklüğünün artık 1 değil R ve C değerlerine bağlı olarak 1 den daha düşük bir sayı olduğunu görürüz. Peki daha yüksek frekanslarda… ve sonsuz frekansta. Frekansımızı çok çok yüksek değerlerde olduğunu düşünüp yerine yazdığımızda fonksiyonumuzun büyüklüğünün 0 yaklaştığını yani giriş işaretimizi çıkışta neredeyse hiç göremediğimize şahit oluruz(çünkü büyüklüğü 0 a yakın bir sayıyla çarpıldı). 0 frekansta olduğu gibi geçiren ve yüksek frekanslarda nerdeyse hiç geçirmeyen bir devre peki ara frekanslarda? Alçak geçiren filtre dedik, hangi frekanstan öncesini geçiriyor veya hangi frekanstan sonrasını geçrimiyor diye bir soru sorulduğunda ne diyeceğiz? İşte burada bir kabul söz konusu(tepeden inme bir kabul değil). Filtremizin en büyük kazancının 0.707 yani 1/kok(2) sine kadar kazanç veren aralıktaki işaretleri geçiyor olarak kabul eder daha düşük kazanç veren frekanslardaki işaretleri geçirmiyor olarak kabul ederiz. 1/kök(2) denmiş, tam bu frekansta gelen işaret ilk büyüklüğünün 1/kök(2) sine düşüyor, enerjisinin de yarısını kaybediyor, bu frekanstan sonraki işaretler enerjilerinin %50 sinden fazlasını kaybediyor. Sonuç olarak en büyük kazancın tam 0.707 sine denk gelen frekansa alçak geçiren filtremizin kesim frekansı diyoruz, kabul ediyoruz. Bu devremizde kesim frekansımızı bulmak istediğimizde:

olduğunu görürüz. Şimdi gerçek değerlerle filtremizde ne olup bittiğini daha iyi anlamaya çalışalım son olarak bir benzetim:) (simülasyon) yapalım bakalım bulduklarımız doğru mu.

Bu arada biz burada bir alçak geçiren filtrenin analizini yapıyoruz, elektronikçiler olarak analizden çok tasarım yaparız. Analizi ise nasıl tasarım yapılır konusunda bilgi edinmek için yaparız. Başka bir arkadaşın yaptığı tasarımı anlamak için de analiz yapılabilir o ayrı. Şimdi bir alçak geçiren filtremiz olsun, R=1k, C=1uf olsun.

Bu değerler verildiğinde filtremizin kesim frekansını yukarıda türettiğimiz Fkesim den bulabiliyoruz. Ancak biz kesim frekansını bulmaktansa filtremizin nasıl davrandığına bakacağız.
Transfer fonksiyonumuz elimizdeki R C değerleriyle:

oldu. Filtremizin, gelen işaretleri transfer fonksiyonumuzun büyüklüğüyle çarptığını, gelen işaretlerin fazını da transfer fonksiyonumuzun fazı kadar kaydırdığını ve transfer fonksiyonumuzun da gelen işaretin frekansına bağlı bir fonksiyon olduğunu biliyoruz. Bu kural tüm lineer zamandan bağımsız filtreler için geçerlidir. (Bizim burada incelediğimiz filtreler lineer ve zamandan bağımsız; nonlineer filtreler özel amaçlar için tasarlanır) Aslında bu yazıdan akıllarda kalması gereken en önemli bilgi yukarı kalın harflerle yazdığım bilgidir. Ancak benim yapmış olabileceğim anlatım bozukluklarından bunu tam olarak aktaramamış olabilirim Bu cümlenin matematiksel ifadesi şudur: Vgiris filtreye giren işaret, Vçıkış ise çıkan:

Neyse devam edelim.
Peki f=300 Hz frekansında bir sinüsoidal işaret bu filtrenin girişine uygulandı, çıkışta ne görürüz? Yine bir sinüsoidal göreceğimiz kesin, çünkü filtremiz lineer ve zamandan bağımsız(lineerlik ve zamandan bağımsızlık ayrı bir konudur) ancak büyüklüğü ve fazı değişmiş bir sinüsoidal. Çıkıştaki işaretin yeni büyüklüğü ne oldu acaba? Transfer fonksiyonumuzun o frekanstaki büyüklüğü*işaretimizin ilk büyüklüğü:)
Giriş işaretimiz

olsun.

f=300, w=600*pi deki transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü:

Fazı:

olur. Bu durumda çıkış işaretimiz:

olur.
10 V büyüklüklü bir sinüsoidal işaret çıkışta 4.7 volt büyüklüklü bir işarete düştü ve fazı -62 derce kaydı. Bu giriş işaretimizin frekansı daha farklı olsaydı acaba 10V büyüklüğü kaça düşecekti? Yukarıya yazdığımız transfer fonksiyonumuzun büyüklüğünü çok yüksek frekanslı işaretler için hesaplamayı düşündüğümüzde sonucun 0 a yaklaştığını görürürz. Yani eğer giriş işaretimizin frekansı f=100MHz olsaydı çıkışta büyüklüğü neredeyse 0 a düşmüş bir işaret görecektik. Peki f=10 Hz olsaydı? Gelin beraber bakalım:

olacaktı(faz kaymasını hesaplamıyorum, fi diyelim) ve çıkış işaretimiz:

olacaktı. Gördüğünüz gibi filtremiz 10Hz frekanslı işaretimizin büyüklüğünü nerdeyse hiç değiştirmiyor. 10Hz ve 300Hz de filtremizin gelen işaretlerin büyüklüğünü nasıl değiştirdiğini gördük, şimdi filtremizin diğer tüm frekanslardaki(1 kHz e kadar bakacağız ) davranışını görebilmek için transfer fonksiyonu büyüklüğünün frekansa bağlı değişim grafiğini çizdirelim:
Matlabi açıp:

yazdığımızda grafiğimiz:

olur.

Bir de grafik üzerinden yorum yaparsak: Görüldüğü üzere 10Hz de gelen bir sinuzoidal işaret çıkışta ilk büyüklüğü*0.998 büyüklüğünde görülüyor, yani nererdeyse olduğu gibi geçiyor. 300Hz de gelen bir sinuzoidal ise çıkışta ilk büyüklüğü*0.46 büyüklüğünde görülüyor, yani büyüklüğünün yarıdan fazlasını kaybediyor.

Arkadaşlar burda hep tek frekanslı bir işaretten bahsettik, bunu filtremizin davranışını görmek için yaptık. Ancak tabi ki filtremize içerisinde birçok frekans barındıran işaretler gelecek, yoksa süzmenin ne anlamı olur! İçerisinde birden çok frekans barındıran işaretlerde her bir frekanstaki işarete filtremiz ayrı ayrı davranır ve çıkışta sonuç yine bu ayrı sonuçların toplamı olarak belirir(superposition). Mesela konuşmamızı elektriksel işarete çevirdiğimizde içerisinde birçok frekans bileşeni olduğunu görürürüz, bu işareti alçak geçiren bir filtreyle süzdüğümüze konuşma işareti içerisindeki yüksek frekanslı(daha tiz) bileşenler çıkışta kendilerini pek gösteremeyecek ve daha kalın bir konuşma sesi duyacağız. Umarım demek istediğimi anlatabilmişimdir.

Şimdi de alçak geçiren filtremizin pratik bir uygulamasını yapalım. Hoparlörümüze gelen ses işaretinin frekanslarının 100Hz-3Khz arasında değiştiğini varsayalım ve nerden geldiğini bilmediğimiz bir 15KHz büyüklüklü bir işaret(gürültü) hoparlörümüzde tiz bir cızırtıya sebep oluyor olsun. Bildiğiniz gibi tek frekanslı bir sinüsoidal işaret sadece dııt sesi verir(frekansı duyma aralığımız 20Hz-20KHz arasında ise). Normalde insan sesinde(yani konuşurken) farklı frekanslarda farklı büyüklükte bileşenler vardır(pratikte bu bileşenlerden 3KHz e kadar olanlar konuşmanın anlaşılması için yeterlidir). Örneğin radyo dinlerken farklı frekanslarda farklı büyüklükteki işaretleri aynı anda işitiyoruz ama gelin görün ki arkada 15KHz büyüklüğünde bir gürültü orda kendi telinden çalıyor, cızırtı yapıyor Öyle bir alçak geçiren bir filtre tasarlayalım ki duymak istediğimiz aralığı alalım gerisini almayalım. Yani öyle R C değeri seçelim ki 15KHz lik bir işaret geldiğinde transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü çok küçük olsun(kapasite elemanımızın tepkinliği çok küçük olsun), dolayısıyla çıkıştaki 15KHz lik işaretin büyüklüğü de çok küçük olsun, duymayalım. Biz artık bu seçimi transfer fonksiyonuna bakarak değil, türettiğimiz Fkesim ifadesine bakarak bulabiliyoruz. Yani filtremizin kesim frekansının ne olmasını istiyorsak fkesim=1/(2*pi*R*C) ye eşitleyip uygun R ve C elemanlarıyla filtremizi gerçekliyoruz.

Bizim burada ses işaretimiz olmayacak ses işaretine benzetmeye çalışacağımız (100Hz, 1KHZ ve 2KHZ aynı büyüklüklü işaretleri toplayarak) bir işaretimiz olacak, çok benzemiyor ama umarım ne yapmak istediğimiz anlaşılıyordur.

Ses işaretimizi PSpice da modellemek istersek bileşenlerimizi bir toplayıcıya veririz:

Çıkışımız(ses işareti modelimiz) zamanda ve frekans ekseninde:

şeklinde olur. Bu tabi gürültü binmemiş, temiz ses işaretimiz, 15KHz lik gürültü yü bu işaretimize bindirdiğimizde:

Gürültülü işaretimiz, zamanda ve frekans ekseninde:

olur.

Geldik filtre tasarım kısmımıza, giriş işaretlerimizin 100Hz-2KHz arasında değiştiğini görüyoruz gürültü işaretimiz ise 15KHz. O zaman kesim frekansı 3KHZ olan bir alçak geçiren filtre tasarlayalım(ses işaretimizin önemli kısmının 3KHz den düşük frekanslı işaretlerde olduğunu hatırlayınız):

olduğunu biliyoruz. Burada önemli olan R*C çarpımı, elimizdeki direnç ve kapasitelere göre bu değere en yakın olacak şekilde seçim yapabiliriz. Ben C=22nF R=2.4 K seçtim.

Süzülmüş işaretimiz ve altta süzülmemiş(gürültülü) işaretimiz ve frekans ekseninde süzülmüş işaretimiz:

ve süzülmüş işaretin frekans eksenindeki görüntüsü
(15Khz lik bileşenin iyice küçüldüğüne ve ses işaretimizdeki yüksek frekanslı bileşenlerin alçak frekanslılara göre büyüklüklerinin daha az olduğuna dikkat ediniz):
Hatırlarda kalması açısından alçak geçiren filtremizin davranışının net bir ifadesi aşağıdaki resimde(resim kaynak adına ulaşamdığım bir içerikten -what’s a capacitor? -):

Umarım faydalı olmuştur, bulduğunuz hataları bildirirseniz memun olurum. İyi çalışmalar.