Aşağıdaki devrede girişten 10V tepe değerli sinüs uygulayalım, frekansımız f olsun, R1 ve R2 dirençleri üzerine düşen gerilimlerin(çıkış1, çıkış2) tepe değerleri 5V a 5V olur.

Frekansımızı 2f yapalım 5V a 5V kalmaya devam eder, 3f, 4f, 5f… 5V a 5V kalır çünkü frekansın değişmesi dirençlerin devredeki rolünü hiç değiştirmez, f frekansında tepkinlikleri 1k idi 10f frekansında da 1k, gerilimi aynı şekilde paylaşırlar. Ancak bunlardan bir tanesi kapasite veya bobin olsaydı durum farklı olacaktı. Bu elemanlar farklı frekanslarda farklı tepkinlik gösterir. Mesela bobin elemanının tepkinliği(empedansı) Zl=i*(2*pi*f)*L dir, yani yüksek frekanslarda yüksek tepkinlik gösterir. Tepkinliğin artması artık açık devre gibi oluyor demek, tepkinliğin azalması da artık kısa devre gibi oluyor demek.

Mesela R2 nin yerine öyle bir devre koysak ki f0 frekansında tepkinliği çoook yüksek oluyor olsun, bu durumda o devreyi açık devre gibi kabul ettiğimizde devrenin f0 daki eşdeğeri aşağıdaki gibi olur:

Şu durumda f0 frekanslı(ve civarı frekanslar) giriş olduğu gibi ÇIKIŞ2 den okunur, yani giriş aynen çıkış2 ye geçer çıkış1 e hiçbir şey kalmaz. Öyle olmaz mı? R1 den akım akmıyor, giriş aynen çıkış2 den okunur.

R2 yerine f0 frekansında çok düşük tepkinlik(kısa devre gibi) gösteren bir devre koymuş olsaydık, bu durumda ne olduğunu görmek için R2 yerine kısa devre koyarız:

Bu durumda ise giriş, çıkış2 de kendini hiç gösteremez, çünkü kısa devre, tüm giriş çıkış1 de belirir.

Yukarıda  f0 frekansını(ve civarını) çıkışına veren veya f0 frekansını(ve civarını) çıkışına vermeyen iki tip devreden bahsettik. Bunlar sırasıyla bant geçiren ve bant durduran filtrelerdir. (2. bahsettiğimiz bant durduranın özel bir hali olan notch filter gibi de düşünülebilir).

Peki R2 yerine koyduğumuz f0 frekansında çok yüksek tepkinlik gösteren veya çok düşük tepkinlik gösteren devreler nelerdir? Çok yüksek veya çok düşük tepkinlikleri paralel ve seri rezonans yapılarıyla elde edebiliyoruz. Mesela paralel LC devresi bir f0 frekansında çok yüksek tepkinlik gösterirken, seri LC devresi bir f0 frekansında çok düşük tepkinlik gösterir. Bu frekanslara bu devrelerin rezonans frekansı denir ve değeri f=1/(2*pi*kok(L*C)) dir. Bu ifadeyi bulmak kolaydır, paralel LC için fazörler yazısında bahsedilmişti, seri LC de ise hesaplamak daha kolay. L nin empedansı i*w*L ve C nin empedansı -i*1/(w*C), seri bağlı olduklarından eşdeğer empedans i*(w*L-1/(w*C)) olur, w*L-1/(w*C) değeri w = 1/kok(L*C) olduğunda sıfır olur(gerçekte çok çok küçük değerlere ulaşılır). w açısal frekansımız 2*pi*f tir. Paralel ve seri rezonans yapıları filtrelerde çok kullanılır.

Paralel LC ve Seri LC Rezonans Yapıları

Gelin R2 yerine rezonans frekansı 10kHz olan paralel LC koyalım ve spice da AC sweep analiz yapalım: 1/(2*pi*kok(L*C)) yi 10kHz yapacak L ve C değerini 250 uH ve 1uF olarak seçelim:

1V luk bir kaynağın frekansını 1kHz ve 30kHz arasında değiştirerek taradık ve en yüksek çıkışın 10kHz de olduğunu gördük, 10kHz de rezonans yapımız açık devre gibi davrandığından o frekansta girişteki 1V tepe değerlikli sinüs çıkışta kendisini aynen gösteriyor. 10KHz merkez frekanslı bir bantgeçiren filtremiz oldu. 1k lık R1 direncinin değeri bu cevabı çok etkiler, nasıl etkilediği üzerine düşünebiliriz.

Paralel LC yerine değerleri değiştirmeden seri LC yapsaydık, rezonans frekansı aynı ancak artık rezonans frekansında çok düşük tepkinlik gösteren bir devremiz olacaktı, bu yapıda 10kHz de çıkışı neredeyse 0 da görecektik. R1 direnci o devrede  de etkili rol oynuyor, direnci düşürdükçe filtre cevabı keskinleşecektir.

Basit alçak geçiren yüksek geçiren devrelerimizde rezonans yapıları yerine tepkinliği frekansa göre artan/azalan elemanlar koyarak filtreleme yapıyoruz, mesela aşağıdaki yapıya bakalım, R2 yerine bir C elemanı koymuş olsaydık:

Verdiğimiz ilk örnekte R1, R2 gerilim bölücü devrede f, 2f, 3f frekanslarında gerilim eşit bölünürken burda C1 in tepkinliği frekans arttıkça azaldığından giriş gerilimi kendisini daha çok R1 üzerinde gösterir, düşük frekanslarda C1 in tepkinliği arttığından giriş gerilimi daha çok C1 üzerinde belirir. Bu bir alçak geçiren filtre oldu, kesim frekansımız f=1/(2*pi*R*C)

C yerine L koysaydık ki tepkinlik değişimi C nin tam tersiydi, bir yüksek geçiren filtremiz olacaktı:

Bu yazıda çıkış olarak hep çıkış2 yi kast ettik, son örneğimizde çıkış2 yüksek frekansları geçirirken düşük frekansların da çıkış1 de belirdiğini görüyoruz. Önceki devrelerimizi de bu açıdan değerlendirebiliriz, yani alçak geçiren filtre yaptığımızda, düşük frekanslı işaretleri alırken yüksek frekanslıları da diğer kola bıraktığımızdan yüksek geçiren filtre de yapmış oluyoruz. Yukarıdaki devrede çıkış1 alçak geçiren davranış gösterirken çıkış2 yüksek geçiren davranış göstermektedir.

Pratikte filtre kullanımında(düşük frekanslarda <.5 GHz) yukarıdaki mantıklardan pek de farklı durumlar yok. Seri ve paralel rezonans yapılarıyla çeşitli filtreler gerçeklenebilmektedir. Filtre tasarımında kullandığımız elemanların frekans cevabı önemlidir, elemanların L-C değerleri frekansla değişebilir veya belirli bir frekanstan(SelfResonansFrekansı) sonra davranış tamamen(L>C veya C>L gibi davranabilir) değişebilir. Kullanılan kapasitenin türü(seramik, polyester, tantal…) veya induktor ün türü(aircore veya nüveli) dikkatle seçilmeli, mümkünse bir empedans analizör/nw analizör ile elemanlar kontrol edilmelidir .Kullanılan elemanların ESRsi(equivalent/effective serial resistance) veya  Q değerleri de filtrenin cevabını etkiler, düşük Q değerli(veya yüksek ESRli) elemanlar filtrenin keskin cevabını yumuşatır ve filtrenin  dilimize “araya girme kaybı” olarak çevrilen insertion loss unu arttırır. Buraya kadar bahsedilen parametreler SRF, ESR(veya Q) en kolay bir empedans analizörüyle ölçülebilmektedir, eğer bir empedans analizörümüz yoksa fonksiyon jeneratörü-osiloskop ikilisiyle uğraştırıcı da olsa ölçülebilir diye düşünüyorum.

Eleman değerlerinin sıcaklığa göre değişimi özellikle “fine tuned” filtrelerde problem olabilir. NPO(COG) dielektrik malzemeli kapasitelerin sıcaklıktan daha az etkilendiği söylenmektedir. (Bu durumu tecrübe etmek henüz nasip olmadı)

Filtre tasarımında ücretsiz birçok yardımcı program vardır, bunlardan bazıları: AADE Filter Design ve  Windipoles.

En yaygın olarak paralel veya seri bağlı C elemanları ile birinci mertebeden alçak/yüksek geçiren filtreler kullanıyoruz. Mesela besleme devremizin çıkışına paralel C bağlarız, bu durumda elde ettiğimiz devre ic dirençle beraber düşünüldüğünde yukarıdaki örnek gibi bir alçak geçiren filtre olur:

Yükseltici devrelerimizde girişe ac sinyalimizi uygularken seri bir kapasite bağlarız, o kapasite de yüksek geçiren filtre görevi görür, yüksek geçiren filtre koyarız çünkü ac diye düşündüğümüz işaretin küçük de olsa dc bileşeni varsa kutuplama devresinin dc seviyesini bozar, girişin önüne seri bağlanan bir C girişe baktığımızda göreceğimiz dirençle(Rin) beraber düşünüldüğünde yüksek geçiren filtre görevi görür, o kapasite “dc blocking” kapasite olarak yapılan işlem “ac coupling” olarak da geçer.

Fazör (phasor), bir sinüzoidal işaret temsil eden karmaşık sayıdır (complex number, a+i b), sinüzoidal kaynaklı devrelerin sürekli hal tepkilerinin bulunmasında kolaylık sağlar.

Farklı kombinasyonda  bağlanmış R, L ve C elemanları bulunduran bir devrede f frekanslı sinüzoidal bir kaynak devrenin bir yanından devreyi sürmeye başlasın, bir süre sonra(devre sürekli hal durumuna geldiğinde, dengeye geldiğinde) devredeki tüm akım ve gerilimler kaynağın dayattığı gibi f frekanslı sinüzoidaller olur. Bu durumu gözünüzde canlandırın, her şey duruyordu, bir sinüzoidal kaynak devreyi f frekansında dürtüklemeye(!) başladı ve bir süre sonra devredeki tüm akım ve gerilimler kaynakla aynı frekanslı ancak farklı genlik ve fazda olarak kaynağa ayak uydurdu.  Sürekli hale geçmiş sinüzoidal kaynaklı bir devrede bu sinüzoidaller arasındaki ilişki diferansiyel bir tanım gerektirmez… Onların genlikleri ve fazları arasında basit ilişkiler kullanılarak akım ve gerilimler bulunabilir. Bu sinüzoidalleri karmaşık sayıyla temsil ederiz(özel adı fazör gösterimi yaparız), sinüzoidaller arasındaki ilişkiyi de karmaşık oranlarla(özel adı: empedans) ifade ederiz. Burada karmaşık sayılar ve karmaşık cebir işimize yarıyor, kullanıyoruz.

Herhangi bir devrenin analizi için 3 tip denkleme ihtiyaç duyarız, bu denklemler:

1) Bir kapalı çevre boyunca gerilimlerin toplamı sıfırdır, Kirchoff Voltaj Yasası-KVY.
2) Bir düğüme gelen akımların toplamı sıfırdır, Kirchoff Akım Yasası-KAY.
3) Devre elemanlarının tanım bağıntıları
bilgileri kullanılarak elde edilir.
Sinüzoidal kaynaklı bir devrenin analizinde fazör bir kolaylıktır dedik, fazörü konuşmadan önce sinüzoidal kaynaklı bir devrenin zaman bölgesindeki çözümünü görelim daha sonra devremizi fazör kullanarak çözüm  yapacağız. Zaman çözümü daha zor olmakla beraber sürekli hale geçene kadarki akım ve gerilimleri de bulmamazı sağlar, fazör çözümü sadece dengeye gelmiş devrenin çözümünde yani sürekli hal tepkisinin bulunmasında kullanılabilir.

Yukarıdaki devrenin analizini zaman bölgesinde yapmak için I1, I2 akımlarını atayıp 1. ve 2.çevreden KVY(kirchoff voltaj yasası) yazarsak:
1. çevre için:

değerleri yerine yazarsak:

ve 2.çevre için değerleri yerine yazılmış şekilde:

eşitliklerini elde ederiz.
2 bilinmeyen (I1,I2) ve 2 denklemimiz(1 ve 2) var, bu durumda I1 ve I2 yi bulabiliriz. Ancak karşımıza çıkan eşitlikler integrodiferansiyel denklem veya 2.dereceden diferansiyel denklem olacaktır. Çeşitli yöntemlerle bu denklemleri çözebiliriz ancak bu işlemler özellikle iki veya daha yüksek mertebeden devrelerde el ile çözüm için çok yorucu ve zor bir hal alır.

Sinüzoidal kaynaklı bir devrede(eğer doğrusal olmayan bir eleman yoksa) bütün akım ve gerilimler de kaynakla aynı frekanslı sinüzoidal olur. Mesela bir kapasite elemanı üzerindeki akım veya gerilim, A kolundan akan akım veya B kolundaki indüktans üzerindeki gerilim, hepsi sinüzoidal. Bu sinüzoidallerin frekansları kaynakla aynı demiştik, farkları ise sadece genlikleri ve fazları. Bazısı diğerinden daha büyük genlikli, bazısı diğerinden faz olarak daha önde-geride. Tüm işaretlerin sinüzoidal olması devre analizimize bir basitlik getiriyor. Mesela, yukarıda saydığımız 3 tip denklem, özellikle 3. sü basitleşiyor:
1-2) Kapalı çevre boyunca gerilimleri toplamak veya bir düğüme gelen akımları toplamak sadece genlik ve faz bilgileri kullanarak yapılabilir. Örn: A*cos(wt+fi1) + B*cos(wt+fi2) toplamı birinci sinüzoidali A*exp(i*fi1) karmaşık sayısı ile temsil edersek(fazörünü yazarsak) ve ikinci sinüzoidali B*exp(fi2) karmaşık sayısıyla temsil edersek bu toplam A*exp(i*fi1)+B*exp(i*fi2) karmaşık sayılarının toplamının temsil ettiği sinüzoidaldir.

3) Asıl basitlik burda: Kapasite-indüktans elemanlarımızın tanım bağıntılarındaki türev veya integral işlemleri, devre kaynağı sinüzoidal olduğunda, sadece genlik ve faz değişimine sebep olduğundan tanım bağıntıları da basitleşiyor. Örn: İndüktans için gerilimin genliği akımın genliğinin w*L katı, gerilimin fazı akımın fazından 90 derece önde diyor çıkıyoruz işin içinden. Elemanımızın tanımı türevli bir ifadedense, genlik ve faz değişimini söyleyen basit bir ifade oldu. Empedans tanımında bu konunun üzerinden tekrar geçeceğiz. Görüldüğü üzere bize gereken 1-2-3 denklemlerimizin yeni ifadelerinde frekanstan hiç bahsetmedik, sinüzoidalleri bir kenara bırakıp sadece genlik ve faz bilgilerini tutuyoruz(bir karmaşık sayı ile).

Karmaşık sayıları(complex numbers) anlayalım:
Karmaşık sayılar iki boyutlu sayılardır. Kendi içerisinde tanımlı cebrik kuralları vardır. Toplama(çıkarma), çarpma(bölme) işlemleri tanımlanmış bir cebrik sistemtir. Bu iki boyutlu sayının bileşenleri; gerçek kısım ve sanal kısım olarak adlandırılır. Neden böyle adlandırılmış, karmaşık sayılar hayatımıza nasıl girmiş sorularının cevaplarından M.İdemen’in KDFT kitabının ilk bölümünde bahsedilmiş. Şu haliyle karmaşık sayı sistemi bizim için bir cebrik sistem. Nasıl ki reel sayılar cebrini veya boolean cebrini biliyorsak, karmaşık sayı cebri de kendi içinde kuralları tanımlanmış bir cebrik sistemdir. İşimize yarıyorsa kullanırız, yaramıyorsa kullanmayız. Biz burada kullanacağız çünkü karmaşık sayı cebrinde tanımlanan toplama ve çarpma(bölme) işlemleri sinüzoidal bir işaretin devrede maruz kalabileceği değişiklikleri tam ifade ediyor. Aynı frekanslı iki sinüzoidalin toplamı(düğüme gelen akımlar, çevre boyunca gerilimler toplamı); bu sinüzoidallerin genlik ve faz bilgilerini tutan karmaşık sayıların(fazörlerin) toplamıyla birebir uyumludur. İndüktans ve kapasitenin tanım bağıntısı da komplex bir çarpma(bölme) işlemiyle tam uyumludur.

Evet, kok(-1) fiziksel bir manaya karşı düşüremediğimiz bir sayıdır ancak bunun bir önemi yoktur. Karmaşık sayı cebrini anlamak ve elektronikte gönül rahatlığıyla kullanmak kok(-1) in manasında değildir. Elektronikte karmaşık sayılar, ya bir sinüzoidal işaret temsil etmek için(fazörler) ya da sinüzoidaller arasındaki ilişkileri(empedans/transfer fonksiyonu) ifade etmek için kullanılır.

Karmaşık sayılar kartezyen, kutupsal ve üssel(exponential) olarak 3 şekilde gösterilebilirler. j=kök(-1) ve (1/j)=-j


Sinüzoidal kaynaklı bir devrede bütün akım ve gerilimler yine sinüzoidaldir ve aynı frekanslı iki sinüzoidalin toplamı yine o frekansta bir sinüzoidaldir. Devredeki sinüzoidaller arasındaki fark sadece genlikleri ve faz farklarıdır. Fazör, bu sinüzoidal gerilim veya akımları genlik(tepe veya rms değeri) ve faz bilgilerini saklayarak temsil eden bir karmaşık sayıdır . Örn: A.cos(wt + ß ) işareti:

karmaşık sayısıyla temsil edilir(karmaşık sayı kutupsal[polar] koordinatlarda gösterildi). “A” değerinin tepe veya rms olması tamamen kabul meselesidir, ikisi de olabilir. Biz burda tepe değeri olan A olarak aldık, sinüzoidalin rms değeri olan A/kok(2) olarak da alabilirdik.Burda dikkat etmemiz gereken diğer bir nokta var, temsil edilmekle eşitlemeyi karıştırmayalım. Sık yapılan bir hata bu iki ifadeyi birbirine eşitlemektir.

Örnek bir gerilim büyüklüğü için bu temsili şöyle yapıyoruz:
NOT: fazörleri ~ işareti ile belirteceğiz.

Empedans (Impedance)
Kapasite veya bobin elemanı sinüzoidal bir kaynakla sürüldüğü zaman akım-gerilim arasındaki ilişkiyi ifade etmek için aşağıda verilen türevli tanım bağıntılarını kullanmaya gerek yoktur:


Bu eşitliklerin kapasite için Q=C*V ve bobin L*I=N*φ ifadelerinin bir kere zamana göre türetilmesinden geldiğini hatırlayınız.
Sinüzoidal kaynaklı devrelerin zaman bölgesinde analizinde karşımıza çıkan integrodiferansiyel veya diferansiyel denklemler bu elemanların tanım bağıntılarının diferansiyel içermelerinden ötürüdür. Analizi zorlaştıran yegane olay da budur.

Verilen tanım bağıntıları doğrudur ancak eğer bu elemanların sinüzoidal bir kaynakla sürüldüğünü biliyorsak bu bağıntıları daha kolay ifade edebiliriz. Nasıl mesela? Mesela diyebiliriz ki bobin elemanının gerilimi akımının w*L katı, gerilim fazı akım fazından 90 derece önde gidiyor(Burdaki w sinüzoidalin açısal frekansı, w=2*pi*f). Yerine yazalım doğru mu bakalım,  IL=sin(w*t) olsaydı gerilim ne oluyor? Gerilim: wL*cos(wt) oluyor, yani dediğimizde bir yanlışlık yok. Aynı şekilde kapasite elemanı için kapasite akımı, geriliminin w*C katı ve akım fazı gerlim fazından 90 derece önde gidiyor diyebiliriz. Görüldüğü üzere kaynağımın sinüzoidal olduğunu biliyorsam bu elemanların tanım bağıntılarını genlik ve faz değişimini söyleyerek ifade edebiliyorum. Genlik ve faz değişiminin sayısal ifadesi de bir karmaşık sayıdır, çünkü bir reel sayı sadece genlik değişimi söyleyebilir, dirençte olduğu gibi. Dolayısıyla bobin veya kapasite elemanımızın tanım bağıntısı (V/I eşitliği) bir karmaşık sayı ile söylenebilir, işte bu karmaşık sayıya empedans diyoruz. Karmaşık sayıları benimseyelim, iki boyutlu, kullanışlı yeni bir sayı olarak bakalım bu sayılara.
Kapasite ve bobin elemanı için empedans değerlerimiz:
olur. [j = kök (-1)]
Aynı şekilde bobin elemanımızın empedansı:

olur.

Böylece fazör bölgesinde kapasite tanım bağıntısı:

bobin tanım bağıntısı:

oldu.

Yani şimdi bobin elemanının tanım bağıntısına baktığımda iwL karmaşık sayısını gördüğümde(w=2*pi*f) anlıyorum ki genlik olarak gerilim akımın wL katı, V nin fazı I nın fazından 90 derece önde.

Ara not: Fazın önde-geride olması?
Bu aslında göreceli bir kavram, daire şeklinde bir pistte yarışan iki araçtan hangisi önde nasıl bilebiliriz? Arkada gibi görünen diğerine tur bindirmiş de olabilir:) Biz -iki aracı da içine alan- pistin yarısına bakıyoruz kim öndeyse o öndedir:) Devrelerimizde de iki sinüzoidalin tepe değerini gördüğü yarım periyoda bakıyoruz, kim önce tepe değeri aldıysa o öndedir. Matematiksel olarak cos(wt+fi), cost(wt) den fi derece öndedir fi<=180 derece için. Yani cos(wt+30), cos(wt+15) den 15 derece öndedir veya cost(wt+180), cos(wt) den 180 derece önde(tam ters işaretlisi) denebilir. cos(wt+181), cos(wt) den 179 derece geridedir Aşağıdaki grafikte kırmızı veya mavi çerçeve alınmış rastgele seçilen yarım periyotluk dilimlerde tepe değeri dana önce gelen işaretin(kırmızı işaret) maviden fi kadar önde olduğu görülmektedir. fi=w*dt dir. Aynı frekanslı iki sinüzoidal arasındaki bu farka faz farkı diyoruz.
İndüktif yüklerde gerilimin akımdan önde, kapasitif yüklerde akımın gerilimden önde olduğunu biliyoruz. Tek indüktansın gerilimi, akımından 90 derece öndedir. Tek kapasitenin akımı, geriliminden 90 derece öndedir.

Görüldüğü üzere sinüzoidal işaretler için elemanımızın(kapasite veya bobin) tanım bağıntısı fazör bölgesinde daha kolay bir şekilde ifade edilebilir ya da bu tanım bağıntılarını daha kolay bir şekilde ifade ettiğimizde kendimizi fazör bölgesinde buluruz:). Fazör kavramının kullanışlılığı burdan kaynaklanır, bu elemanların tanım bağıntılarını kolaylaştırdığımızda integrodiferansiyel veya diferansiyel denklemler cebrik denklemlere dönüşür.Örnek devremizi fazör kullanarak analiz edelim:

Kaynağımızın fazını 0 olarak kabul ediyoruz yani aslında devremizde kaynağımızı referans olarak alıyoruz. Kaynağımız cos ile ifade edildiyse herhangi çıkan bir sonucun “cosinus” bir işaret temsil ettiğiniz biliyoruz. Kaynağımıza sinus deseydik çıkan herhangi sonucun “sinus” işaret temsil ettiğini biliyoruz. Kaynağı referans alarak aslında biz fazör analizi sonucunda bulduğumuz tüm fazları kaynağa göre söyleriz, atıyorum R1 direncinin geriliminin genliği A fazı 30 bulundu ise kaynaktan 30 derece önde olduğunu anlarız. Örneklerde daha iyi anlaşılacaktır.
Devremiz fazör bölgesinde:

1. ve 2. çevreden:

Denklemlerimizi düzenlersek:


İşlemler Matlab de veya karmaşık sayı desteği olan bir hesap makinesinde yapılabilir.

böylelikle I1 akımını bulduk. 2 nolu denklemden I2 yi de bulabiliriz.


Böylelikle I1 ve I2 akımlarını bulmuş olduk. Sonuçlarımıza bakarsak I1 ve I2 akımlarının fazlarının aynı olduğunu görüyoruz(yuvarlatılmış haliyle) ve I1 akımının I2 akımına kıyasla yaklaşık 1000 kat daha büyük olduğunu görüyoruz. Bunu şöyle yorumlayabiliriz: Z2 ve Z3 empedanslarını bulmuştuk, Z3 empedansı Z2 ye kıyasla 1000 kat daha büyüktü dolayısıyla Z2 üzerinden akan akım Z3 üzerinden akana kıyasla 1000 kat daha büyük oldu. R direncinden geçen akımın çok büyük bir kısmı Z2 üzerinden akıyor, Z3 üzerinden ise çok az akım akıyor. R direncinden sağ tarafa baktığımızda neredeyse tamamen indüktif bir yük görüyoruz(seçtiğimiz L ve C değerlerinden ötürü). Kaynağımızdan sağ tarafa baktığımızda 220 ohm luk saf bir direncimize Z2//Z3 empedansının seri bağlandığını görüyoruz. Z1//Z2 ~ = Z2 çünkü Z2 empedansı Z1 e kıyasla çok küçük, dolayısıyla kaynağın gördüğü yük 220+Z2 o da 220 + 31.4j, yani kaynağımız hemen hemen rezistif bir yük görüyor, dolayısıyla I1 akımının faz kayması çok değil, sadece -8 derece. I1 akımında negatif işaretli bir faz kayması var(akım geride) çünkü yükümüz indüktif özellik gösteriyor.

Peki bizden indüktör(bobin) üzerindeki gerilim istenmiş olsaydı ne yapacaktık? I1 ve I2 fazör akımlarını bulmuştuk. İndüktör üzerindeki fazör gerilimi:

Böylece devremizin analinizi bitirmiş olduk ancak bulduğumuz sonuçların sürekli hal tepkileri olduğunu unutmayalım.

Devre analizinde gördüğümüz bir karmaşık sayı ne anlam ifade eder, gerçek hayatta imajiner bir büyüklük yoktur?
- Bir sinüzoidal işaret(akım veya gerilim) temsil eder efendim, büyüklüğü bu karmaşık sayının büyüklüğü ve fazı bu karmaşık sayının açısı olan bir sinüzoidal işaret temsil eder. L ve C elemanlarında olduğu gibi empedans değerlerinin karmaşık sayı olabileceğini unutmayalım. Örnekler(tüm açılar derece cinsinden):
Fazör 10j akımı 10.cos(wt+90) akımını temsil eder. (cos veya sin olması seçime bağlıydı, hatırlayınız.)
Fazör 3+4j gerilimi 5.cos(wt+53) gerilimini temsil eder. Karmaşık sayının formatı değişince aklımız karışmasın, sayının formatı yaptığımız işlemi kolaylaştırması için başka formlarda gösterilebilir(topl-çıkarma kartezyen, çarpma bölme polar formda daha kolay yapılır):
Fazör 20*exp(-45j) akımı 20*cos(wt-45) akımını temsil eder.
Zamanda bölgesinde100*cos(wt+30) akımını fazör bölgesinde 100*exp(30j) temsil eder.

*Çoğu analizde burda fazör kullandık denilmez, belki nezaketen fazör bölgesine geçersek denir veya fazör karşılıkları direkt yazılır. Karmaşık sayıları görünce fazör olduğunu bizim düşünmemiz gerekir.

*İnternette veya bir kitap sayfasında herhangi bir akımın 100j olduğundan bahsediliyor mesela… aklımıza hemen genliği 100 V, fazı +90 derece olan bir sinüzoidal gelmelidir. Tek başına faz bilgisinin bir şey ifade etmediğini unutmayınız, bir faz bilgisi varsa muhakkak referans alınan bir kaynak sinüzoidal vs. olmak zorundadır. Neye göre +90 derece…?

Örnek Devreler:
1)Seri RC

Vk=10.cos(2*pi*1000000*t) olmak üzere yukarıdaki devrede I1 ve V1 in sürekli hal tepkilerini bulunuz.

Çözüm:
Devremizi fazör bölgesine alalım:

Bir KVY dönersek:

2)Paralel LC Rezonans

Yukarıdaki gibi paralel L-C devrelerinde ok yönünde bakıldığında görülen empedans bir f frekansında sonsuz olmaktadır(açık devre), bu frekansa paralel LC devresinin rezonans frekansı denir. Buna göre yukarıda verilen değerlere göre devrenin rezonans frekansını bulunuz.

Ok yönünde bakıldığında gördüğümüz empedansa Z, C ve L nin empedanslarına Z1 ve Z2 dersek:

Bu empedansın sonsuz olması için paydanın sıfır olması gerekir.

Bu yapı pratikte filtre tasarımında kullanılır. Yukarıdaki paralel rezonans devresine seri bağlı bir R direnci düşünelim. Oluşan devre bir bant geçiren filtredir. Bu devre rezonans frekansında girişindeki işareti aynen geçirecektir(çünkü açık devre). Eğer merkez frekansı 1MHz lik bir bant geçiren filtre tasarlamak istiyorsak rezonans frekansı 1MHz olan bir paralel L-C rezonans devresi kullanabiliriz. R yi neye göre seçeceğiz? R değeri filtremizin Q sunu, diğer bir ifadeyle filtremizin bant genişliğin belirler. R yükseldikçe filtremiz sadece rezonans frekansını geçirmek ister.

Alçak Geçiren Filtre(Low Pass Filter):

Yorum:

Frekans arttıkça kapasitenin tepkinliği azalmaya başlar, yani gösterdiği empedans düşer kısa devre gibi davranmaya başlar. Bu durumda girişe uygulanan gerilim kapsiteye seri bağlı direnç üzerinde kendini daha çok gösterir. Yani girişine yüksek frekans uygulanan seri bağlı R C devresinde gerlimin büyük bölümü R nin uçlarında olur, çünkü C çok küçük bir empedans gösterir. Frekans düştükçe kapasitenin tepkinliği artar(kapasite ben burdayım demeye başlar), kapasite uçlarında okunan gerilim değeri de artar. Bu seçiciliği kullanarak alçak geçiren filtre yapabiliriz. Dikkat ederseniz frekans değiştikçe kapasite tepkinliğinin değiştiğinden bahsettim ama dirençten hiç bahsetmedim, çünkü direnç tüm frekanslarda aynı tepkinliği gösterir.

Analiz:

Elemanların fazör domain karşılıklarını yazalım:

Gerilim bölümünden çıkışta göreceğimiz işaretimiz Vçıkış:

olacaktır. Eşitlikte gördüğümüz w giriş işaretimizin açısal frekansıdır. Burada giriş gerilimi ile çıkış gerilimi arasında karmaşık(komplex) bir fonksiyon görüyoruz, özel adı transfer fonksiyonu, bu ne demek oluyor?

Bunun nedeni giriş ve çıkış işaretimizi karmaşık bir sayıyla(genlik ve faz bilgisini tutan) temsil etmemizdir, yani fazör kullanmamızdır. Fazörün sinüzoidal işaret temsil eden karmaşık sayı olduğunu biliyoruz. Filtremiz, girişine gelen sinüzoidalin genliğini ve fazını modifiye eder, gelen sinüzoidali karmaşık sayı ile temsil ettiğimizde bu modifikasyonu bir karmaşık sayı ile çarparak ifade edebiliriz, çünkü karmaşık sayılar çarptıkları sayıların genlik ve fazını modifiye edebilirler. İşte transfer fonksiyonumuz her farklı giriş frekansı w için -girişi modifiye edecek- farklı bir karmaşık sayı verir ki bu karmaşık sayı farklı frekanslı girişleri farklı modifiye eder
“Modifiye” yi çok kullandım ama aklıma gelen kelimelerden manayı en iyi karşılayan o.

Sonuç olarak yukarıda yazdığımız transfer fonksiyonu bize şunu söyler: sen bana giriş işaretinin w frekansını söyle ben sana çıkışta işaretinin büyüklüğünün ne ile çarpılacağını ve fazının ne kadar değişeceğini söyleyeyim. Çıkış işaretimizin ne ile çarpılacağı filtremizin kazancı olarak adlandırılır. Eşitliğimizi sadeleştirdiğimizde:

Burada transfer fonksiyonumuzu daha sade bir halde görüyoruz. Peki bu transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü ve açısı, girişe 0(DC) frekanslı bir işaret geldiğinde ne oluyor acaba? (Modifiye eden karmaşık sayı nedir?) Öyle ya filtremiz gelen işaretimizin fazını ve büyüklüğünü işaretimizin frekansına göre değiştiriyordu acaba 0 frekansında nasıl bir değişim yapıyor? f=0 ise w=2*pi*0 = 0 olacaktır. 0 ı transfer fonksiyonumuzda yerine yazdığımızda fonksiyonumuzun büyüklüğünün 1 olduğunu görürüz, yani giriş işaretimizin büyüklüğü değişmeden çıkışta görülüyor ya fazı? w= 0 ı yerine yazdığımızda oluşan sayı bir reel sayı olduğundan fazı sıfırdır ve işaretimizde bir faz kayması olmaz, yani girişe gelen 0 frekanslı(DC) bir işaret zayıflamadan çıkışta aynen beliriyor. Peki frekansımız 0 değilde 100 Hz olsaydı ne olurdu? f=100Hz ise w=200pi olur. w=200 pi yerine yazıp fonksiyonumuzun büyüklüğüne baktığımızda büyüklüğünün artık 1 değil R ve C değerlerine bağlı olarak 1 den daha düşük bir sayı olduğunu görürüz. Peki daha yüksek frekanslarda… ve sonsuz frekansta. Frekansımızı çok çok yüksek değerlerde olduğunu düşünüp yerine yazdığımızda fonksiyonumuzun büyüklüğünün 0 a yaklaştığını yani giriş işaretimizi çıkışta neredeyse hiç göremediğimize şahit oluruz(çünkü büyüklüğü 0 a yakın bir sayıyla çarpıldı). 0 frekansta olduğu gibi geçiren ve yüksek frekanslarda nerdeyse hiç geçirmeyen bir devre peki ara frekanslarda? Alçak geçiren filtre dedik, hangi frekanstan öncesini geçiriyor veya hangi frekanstan sonrasını geçrimiyor diye bir soru sorulduğunda ne diyeceğiz? İşte burada bir kabul söz konusu(tepeden inme bir kabul değil). Filtremizin en büyük kazancının 0.707 yani 1/kok(2) sine kadar kazanç veren aralıktaki işaretleri geçiyor olarak kabul eder daha düşük kazanç veren frekanslardaki işaretleri geçirmiyor olarak kabul ederiz. 1/kök(2) denmiş, tam bu frekansta gelen işaret ilk büyüklüğünün 1/kök(2) sine düşüyor, enerjisinin de yarısını kaybediyor, bu frekanstan sonraki işaretler enerjilerinin %50 sinden fazlasını kaybediyor(çıkışa yansıtamıyor). Sonuç olarak en büyük kazancın tam 0.707 sine denk gelen frekansa alçak geçiren filtremizin kesim frekansı diyoruz, kabul ediyoruz. Bu devremizde kesim frekansımızı bulmak istediğimizde:

olduğunu görürüz. Kesim frekansını enerjinin yarıyarıya bölüşüldüğü yani R ve C elemanlarının tepkinliklerinin aynı olduğu frekanstır, bu frekansı tepkinliklerin eşit olduğu frekans R=1/(wc) den f=1/(2*pi*RC) olarak da bulabilirz.
Şimdi gerçek değerlerle filtremizde ne olup bittiğini daha iyi anlamaya çalışalım son olarak bir benzetim:) (simülasyon) yapalım bakalım bulduklarımız doğru mu.

Bu arada biz burada bir alçak geçiren filtrenin analizini yapıyoruz, elektronikçiler analizden çok tasarım yaparlar. Analizi ise nasıl tasarım yapılır konusunda bilgi edinmek için yaparlar. Başka bir arkadaşın yaptığı tasarımı anlamak için de analiz yapılabilir o ayrı. Şimdi bir alçak geçiren filtremiz olsun, R=1k, C=1uf olsun.

Bu değerler verildiğinde filtremizin kesim frekansını yukarıda türettiğimiz Fkesim den bulabiliyoruz. Ancak biz kesim frekansını bulmaktansa filtremizin nasıl davrandığına bakacağız.

Transfer fonksiyonumuz elimizdeki R C değerleriyle:

oldu. Filtremizin, gelen işaretleri transfer fonksiyonumuzun büyüklüğüyle çarptığını, gelen işaretlerin fazını da transfer fonksiyonumuzun fazı kadar kaydırdığını ve transfer fonksiyonumuzun da gelen işaretin frekansına bağlı bir fonksiyon olduğunu biliyoruz. Bu kural tüm lineer zamandan bağımsız filtreler için geçerlidir. (Bizim burada incelediğimiz filtreler lineer ve zamandan bağımsız; nonlineer filtreler özel amaçlar için tasarlanır) Aslında bu yazıdan akıllarda kalması gereken en önemli bilgi yukarı kalın harflerle yazdığım bilgidir. Ancak benim yapmış olabileceğim anlatım bozukluklarından bunu tam olarak aktaramamış olabilirim Bu cümlenin matematiksel ifadesi şudur: Vgiris filtreye giren işaret, Vçıkış ise çıkan:

Neyse devam edelim.

Peki f=300 Hz frekansında bir sinüsoidal işaret bu filtrenin girişine uygulandı, çıkışta ne görürüz? Yine bir sinüsoidal göreceğimiz kesin, çünkü filtremiz lineer ve zamandan bağımsız(lineerlik ve zamandan bağımsızlık ayrı bir konudur) ancak büyüklüğü ve fazı değişmiş bir sinüsoidal. Çıkıştaki işaretin yeni büyüklüğü ne oldu acaba? Transfer fonksiyonumuzun o frekanstaki büyüklüğü*işaretimizin ilk büyüklüğü:)

Giriş işaretimiz

olsun.

f=300, w=600*pi deki transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü:

Fazı:

olur. Bu durumda çıkış işaretimiz:

olur.

10 V büyüklüklü bir sinüsoidal işaret çıkışta 4.7 volt büyüklüklü bir işarete düştü ve fazı -62 derce kaydı. Bu giriş işaretimizin frekansı daha farklı olsaydı acaba 10V büyüklüğü kaça düşecekti? Yukarıya yazdığımız transfer fonksiyonumuzun büyüklüğünü çok yüksek frekanslı işaretler için hesaplamayı düşündüğümüzde sonucun 0 a yaklaştığını görürürz. Yani eğer giriş işaretimizin frekansı f=100MHz olsaydı çıkışta büyüklüğü neredeyse 0 a düşmüş bir işaret görecektik. Peki f=10 Hz olsaydı? Gelin beraber bakalım:

olacaktı(faz kaymasını hesaplamıyorum, fi diyelim) ve çıkış işaretimiz:

olacaktı. Gördüğünüz gibi filtremiz 10Hz frekanslı işaretimizin büyüklüğünü nerdeyse hiç değiştirmiyor. 10Hz ve 300Hz de filtremizin gelen işaretlerin büyüklüğünü nasıl değiştirdiğini gördük, şimdi filtremizin diğer tüm frekanslardaki(1 kHz e kadar bakacağız ) davranışını görebilmek için transfer fonksiyonu büyüklüğünün frekansa bağlı değişim grafiğini çizdirelim:

Matlabi açıp:

f=0:0.1:1000;

yazdığımızda grafiğimiz:

olur.

Bir de grafik üzerinden yorum yaparsak: Görüldüğü üzere 10Hz de gelen bir sinuzoidal işaret çıkışta ilk büyüklüğü*0.998 büyüklüğünde görülüyor, yani nererdeyse olduğu gibi geçiyor. 300Hz de gelen bir sinuzoidal ise çıkışta ilk büyüklüğü*0.46 büyüklüğünde görülüyor, yani büyüklüğünün yarıdan fazlasını kaybediyor.

Arkadaşlar burda hep tek frekanslı bir işaretten bahsettik, bunu filtremizin davranışını görmek için yaptık. Ancak tabi ki filtremize içerisinde birçok frekans barındıran işaretler gelecek, yoksa süzmenin ne anlamı olur! İçerisinde birden çok frekans barındıran işaretlerde her bir frekanstaki işarete filtremiz ayrı ayrı davranır ve çıkışta sonuç yine bu ayrı sonuçların toplamı olarak belirir(superposition). Mesela konuşmamızı elektriksel işarete çevirdiğimizde içerisinde birçok frekans bileşeni olduğunu görürürüz, bu işareti alçak geçiren bir filtreyle süzdüğümüze konuşma işareti içerisindeki yüksek frekanslı(daha tiz) bileşenler çıkışta kendilerini pek gösteremeyecek ve daha kalın bir konuşma sesi duyacağız. Umarım demek istediğimi anlatabilmişimdir.

Şimdi de alçak geçiren filtremizin pratik bir uygulamasını yapalım.
Hoparlörümüze gelen ses işaretinin frekanslarının 100Hz-3Khz arasında değiştiğini varsayalım ve nerden geldiğini bilmediğimiz bir 15KHz büyüklüklü bir işaret(gürültü) hoparlörümüzde tiz bir cızırtıya sebep oluyor olsun. Bildiğiniz gibi tek frekanslı bir sinüsoidal işaret sadece dııt sesi verir(frekansı duyma aralığımız 20Hz-20KHz arasında ise). Normalde insan sesinde(yani konuşurken) farklı frekanslarda farklı büyüklükte bileşenler vardır(pratikte bu bileşenlerden 3KHz e kadar olanlar konuşmanın anlaşılması için yeterlidir). Örneğin radyo dinlerken farklı frekanslarda farklı büyüklükteki işaretleri aynı anda işitiyoruz ama gelin görün ki arkada 15KHz büyüklüğünde bir gürültü orda kendi telinden çalıyor, cızırtı yapıyor Öyle bir alçak geçiren bir filtre tasarlayalım ki duymak istediğimiz aralığı alalım gerisini almayalım. Yani öyle R C değeri seçelim ki 15KHz lik bir işaret geldiğinde transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü çok küçük olsun(kapasite elemanımızın tepkinliği çok küçük olsun), dolayısıyla çıkıştaki 15KHz lik işaretin büyüklüğü de çok küçük olsun, duymayalım. Biz artık bu seçimi transfer fonksiyonuna bakarak değil, türettiğimiz Fkesim ifadesine bakarak bulabiliyoruz. Yani filtremizin kesim frekansının ne olmasını istiyorsak fkesim=1/(2*pi*R*C) ye eşitleyip uygun R ve C elemanlarıyla filtremizi gerçekliyoruz.

Bizim burada ses işaretimiz olmayacak ses işaretine benzetmeye çalışacağımız (100Hz, 1KHZ ve 2KHZ aynı büyüklüklü işaretleri toplayarak) bir işaretimiz olacak, çok benzemiyor ama umarım ne yapmak istediğimiz anlaşılıyordur.

Ses işaretimizi PSpice da modellemek istersek bileşenlerimizi bir toplayıcıya veririz:

Çıkışımız(ses işareti modelimiz) zamanda ve frekans ekseninde:

şeklinde olur. Bu tabi gürültü binmemiş, temiz ses işaretimiz, 15KHz lik gürültü yü bu işaretimize bindirdiğimizde:

Gürültülü işaretimiz, zamanda ve frekans ekseninde:

olur.

Geldik filtre tasarım kısmımıza, giriş işaretlerimizin 100Hz-2KHz arasında değiştiğini görüyoruz gürültü işaretimiz ise 15KHz. O zaman kesim frekansı 3KHZ olan bir alçak geçiren filtre tasarlayalım(ses işaretimizin önemli kısmının 3KHz den düşük frekanslı işaretlerde olduğunu hatırlayınız):

olduğunu biliyoruz. Burada önemli olan R*C çarpımı, elimizdeki direnç ve kapasitelere göre bu değere en yakın olacak şekilde seçim yapabiliriz. Ben C=22nF R=2.4 K seçtim.

21 Ekim 2010 da bir ek: Sadece R*C çarpımı mı etkilidir? R yi çok büyük seçip C yi küçük seçsem veya tam tersi seçmiş olsam hiçbir şey değişmez mi? Tabii ki değişir. 1. Kriter) R nin büyük seçilmesi enerji kaybına sebep olduğundan doğru değildir(ek iki paragrafa bakınız). 2. Kriter) R ve C değerleri filtremizin giriş ve çıkış empedansını değiştirdiğinden filtrenin girişine ve çıkışına bağlanan empedansları dikkate almak gerekir.

Süzülmüş işaretimiz ve altta süzülmemiş(gürültülü) işaretimiz ve frekans ekseninde süzülmüş işaretimiz:

ve süzülmüş işaretin frekans eksenindeki görüntüsü

(15Khz lik bileşenin iyice küçüldüğüne ve ses işaretimizdeki yüksek frekanslı bileşenlerin alçak frekanslılara göre büyüklüklerinin daha az olduğuna dikkat ediniz):

Sonradan yazılan ek iki paragraf:
Burda bir pratik uygulama yaptığımızı söyledik ama ne kadar pratik! Alçak geçiren filtre yaparken bir R direnci kullandık. Günlük hayatta devrelerimizde alçak geçiren filtre uygulamak istediğimiz yere paralel bir kapasite bağlarız, genellikle direnç bağlamayız. Çünkü kapasiteyi bağladığımız yerden sinyalin geldiği tarafa baktığımızda zaten bir iç direnç vardır.  Örn: Bir güç kaynağının DC çıkışı alçak geçiren filtreden geçirilirken sadece paralel bir kapasite bağlanır çünkü kaynağın zaten bir iç direnci vardır. Bir güç kaynağının çıkışında saf DC görmek isteriz, dolayısıyla R*C çarpımı ne kadar yüksek olursa o kadar iyi olur. C yi ne kadar yüksek seçersek o kadar saf DC elde ederiz. C yi yüksek seçmenin bir dezavantajı çıkışta DC değerin olması gereken değere biraz daha geç oturması.

Yukarıda yaptığımız örnek uygulama için de durum aynı, hoparlöre gelen sinyalin kaynağının zaten bir iç direnci var, bize düşen 15Khz lik gürültüyü bastıracak 2-3KHz ses bileşenlerini geçirecek şekilde bir C değeri seçmek. Bu C değerini ister deneyerek belirleyebilirsiniz isterseniz -mümkünse- sinyal kaynağının iç direncini ölçerek belirleyebilirsiniz.

Hatırlarda kalması açısından alçak geçiren filtremizin davranışının net bir ifadesi aşağıdaki resimde(resim kaynak adına ulaşamdığım bir içerikten -what’s a capacitor? -):

Umarım faydalı olmuştur, bulduğunuz hataları bildirirseniz memun olurum. İyi çalışmalar.